随机事件的概率

　　【知识精讲】

　　<一>本节知识结构

　　<二>随机现象
　　1.必然现象：在一定条件下必然发生某种结果的现象，如：“抛一石块，下落”，“地球每天都在绕太阳转动”都为必然现象。

　　2.随机现象：当在相同的条件下多次观察同一现象，每一次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现，其特点有如下几条：①在相同条件下观察同一现象；②多次观察；③每次观察的结果不一定相同，但无法预料下一次的结果是什么，如“某射击运动员每一次射击命中的环数”为随机现象。

　　<三>事件与基本事件空间
　　1.必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件；
　　2.不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件；
　　3.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；

　　4.必然事件和不可能事件的统称为确定事件，确定事件和随机事件统称为事件，其一般用大写字母A、B、C……表示；

　　5. 基本事件：在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果。它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件。
　　基本事件具备如下性质：（1）不能或不必分解为更小的随机事件；（2）不同的基本事件不可能同时发生。

　　6.基本事件空间：由所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，它常用大写希腊字母Ω表示；
　　用集合的观点可以如下理解：基本事件类似于集合中元素，基本事件空间类似于全集，随机事件可理解为基本事件空间的子集。

　　<四>频率与概率
　　1.频数与频率：在相同条件下重复几次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n_A为事件A出现的频数，称 为事件A出现的频率。

　　2. 概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率 稳定在某个常数上，则这个常数就叫事件A的概率，记作P（A）。

　　3.频率与概率的区别与联系：①频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数；②随机事件的频率，指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随试验次数的不断增多，摆动幅度越来越小，这个常数就是这个随机事件的概率。

　　<五>事件的关系和运算
　　1.事件B包含事件A 对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A。

　　2.事件A与事件B相等：若 ，称事件A与事件B相等，记作A=B。

　　3.并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件，记作A∪B或A+B。

　　4.交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，称此事件为事件A与事件B的交事件（积事件），记作A∩B（或AB）。

　　5.事件A与事件B互斥：若事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生，称事件A与事件B互斥，其含义为AB为不可能事件。

　　6.互为对立事件：若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义为：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，A的对立事件常记为

　　<六>概率的几个基本性质：
　　1.由于事件的频数总是小于或等于试验次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在此0～1之间即
　　0≤P（A）≤1。
　　2.每次试验中，必然事件一定发生，则必然事件的概率为1。
　　3.每次试验中，不可能事件一定不发生，则不可能事件的概率为0。
　　4.如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B）。
　　5.如果事件A与事件B互为对立事件，则P（A∪B）=1.
　　由④得P（A）+P（B）=P（A∪B）=1，即P（A）=1-P（B）。

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